Question

数理方法

Answer 1

地下水功能评价主要采用的数理方法是层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP），它由美国运筹学家Saaty T.L.教授在20世纪70年代中期提出，并于1980年在其所著“The Analytic Hierarchy Process”中正式确定。

AHP法是把评价系统中相互关联的各个要素按隶属关系分解成为若干层次，并按照上一层的准则对其下属同一层次的各个要素进行两两判断比较，确定各要素的相对重要性，给出定量指标，然后利用数学方法求解各层次的各要素相对重要性权值，作为综合分析的基础。AHP法是在对复杂问题的本质、影响因素及其内在关系的分析基础上，利用较少的定量信息使评价过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂系统提供简便的分析方法。该方法适用于难以直接准确计量的复杂系统问题研究。该方法对原始观测数直接加权运算后，进行综合排序，未削弱原始信息量，不仅使评价指标逻辑判断量化，且保持判断全过程的一致性，适用地下水功能评价研究。

（一）指标权重判断矩阵构建

为了实现下一层（例如B层）对上一层（例如A层）总目标的描述，以A层的要求为准则，对B层指标进行相对重要性的两两比较（比较准则，如表5-3所示），将得到系统A层的判断矩阵，即

A=｛b_ij｜i，j=1～n｝_n×m

其中：b₁，1表示相对总目标（A层）的资源功能对水资源功能的相对重要性，为B₁/B₁=1；

b_1，2表示资源功能对生态功能的相对重要性，为B₁/B₂；

b_1，3表示资源功能对地质环境功能的相对重要性，为B₁/B₃；

b_2，1表示生态功能对资源功能的相对重要性，为B₂/B₁；

b_2，2表示生态功能对生态功能的相对重要性，为B₂/B₂=1；

b_2，3表示生态功能对地质环境功能的相对重要性，为B₂/B₃；

b_3，1表示地质环境功能对资源功能的相对重要性，为B₃/B₁；

b_3，2表示地质环境功能对生态功能的相对重要性，为B₃/B₂；

b_3，3表示地质环境功能对地质环境功能的相对重要性，为B₃/B₃=1。

表5-3 地下水功能评价的判断矩阵标度分级及其意义

同理，建立B层对C层、C层对D层的判断矩阵。由此获得由A层对B层的判断矩阵、B层对C层的判断矩阵和C层对D层的判断矩阵，它们共同组成地下水功能评价指数的计算数理表达式。

构建地下水功能评价的判断矩阵，具体方法和步骤如下。

步骤1：明确评价体系的总目标，作为A层（系统层）对B层（功能层）约束准则，然后将地下水的资源功能（B₁）、生态功能（B₂）和地质环境功能（B₃）作为系统层的基本指标。

步骤2：根据它们彼此重要性，遵循表5-3 的规则，确定它们之间权重关系，即以系统（A）层的要求为准则，对B层指标进行相对重要性的两两比较，将得到系统（A）层的判断矩阵，如表5-4所示。

表5-4 地下水功能评价的A层→B层的权重判断矩阵

注：①b_1，1表示相对总目标（A层）的资源功能（B₁）对水资源功能的相对重要性，为B₁/B₁=1；b_1，2表示资源功能对生态功能（B₂）的相对重要性，为B₁/B₂；b_1，3表示资源功能对地质环境功能（B₃）的相对重要性，为B₁/B₃；b_2，1表示生态功能对资源功能的相对重要性，为B₂/B₁；b_2，2表示生态功能对生态功能的相对重要性，为B₂/B₂=1；b_2，3表示生态功能对地质环境功能的相对重要性，为B₂/B₃；b_3，1表示地质环境功能对资源功能的相对重要性，为B₃/B₁；b_3，2表示地质环境功能对生态功能的相对重要性，为B₃/B₂；b_3，3表示地质环境功能对地质环境功能的相对重要性，为B₃/B₃=1。②b_i，j＞0，b_i，j·b_j，i=1；当i=j时，b_i，j=1。

步骤3：与前面方法相同，分别将B₁，B₂和B₃层的目标作为其下一层（C层）各属性层的准则，而B₁，B₂和B₃层所属的C层各项指标（C₁，C₂和C₃，…）作为相应B层的基本指标，由此构建成各B→C层的判断矩阵，分别为表5-5、表5-6和表5-7。

表5-5 地下水资源功能（B₁）相对重要性判断矩阵

表5-6 地下水生态功能（B₂）相对重要性判断矩阵

表5-7 地下水地质环境功能（B₃）相对重要性判断矩阵

步骤4：同理，构建各属性层（C→D层）相对重要性判断矩阵，分别为

资源占有性相对重要性判断矩阵，C₁=｛d_ij｜i，j=1～4｝_4×4

资源再生性相对重要性判断矩阵，C₂=｛d_ij｜i，j=5～8｝_4×4

资源调节性相对重要性判断矩阵，C₃=｛d_ij｜i，j=9～11｝_3×3

资源可用性相对重要性判断矩阵，C₄=｛d_ij｜i，j=12～15｝_4×4

景观环境维持性相对重要性判断矩阵，C₅=｛d_ij｜i，j=16～17｝_2×2

水环境关联性相对重要性判断矩阵，C₆=｛d_ij｜i，j=18～19｝_2×2

植被环境维持性相对重要性判断矩阵，C₇=｛d_ij｜i，j=20～22｝_3×3

土地环境关联性相对重要性判断矩阵，C₈=｛d_ij｜i，j=23～25｝_3×3

地质环境稳定性相对重要性判断矩阵，C₉=｛d_ij｜i，j=26～30｝_5×5

地下水系统衰变性相对重要性判断矩阵，C₁₀=｛d_ij｜i，j=31～34｝_4×4

步骤5：判断矩阵的一致性检验，是研判矩阵正确与否的重要方法。单层排序权值是否合理，需要根据判断矩阵的一致性比率（C_R）的大小做出判断。

（二）评价指标权重计算

权重分析主要是层次排序及求解权向量，即确定上述各判断矩阵的同一层次各因子对于上一层次某指标相对重要性的排序权值，并检验和修正各判断矩阵的一致性。常见的因子排序权重向量的方法，有和积法、方根法、特征根法、最小二乘法和对数最小二乘法等。

通过求解前面的各判断矩阵，确定各判断矩阵的同一层次各因子对于上一层次某指标相对重要性的排序权值，并检验和修正各判断矩阵的一致性。

对于一个正向量W=（W₁，W₂，…，W_n）^T，其标准化向量W为

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

式中：W_s（W_s1，W_s2，…，W_sn）^T为同一层次相应因子对于上一层次某个指标相对重要性的排序权值。

目前，常见的计算因子排序权重向量的方法，主要有：和积法、方根法、特征根法、最小二乘法和对数最小二乘法等。

1.特征根法

计算权重向量W=（W₁，W₂，…，W_n）^T，步骤为

1）求证互反矩阵A的最大特征值λ_max；

2）利用AW=λ_maxW，解出所对应的特征向量W；

3）将W标准化（归一化）后，即为同一层次中相对应于上一层某个指标C_k的相对重要性的排序权值。

2.和积法

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

称W=（W₁，W₂，…，W_n）^T对为n个因子集D=（d₁，d₂，…，d_n）的权向量。

求解判断矩阵的最大特征根：

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

例如：

区域地下水功能可持续性评价理论与方法研究

单层排序权值是否合理，需要进行一致性检验，公式为

C_R=C_I/R_I

C_I=（λ_max-1）/（n-1）

式中：C_R为一致性比例；R_I为平均一致性指标，其数据如表5-8所示；C_I为一致性指标。

当C_R＜0.1时，判断矩阵被认为达到一致性；否则，需要重新调整判断矩阵中的元素，直至判断矩阵具有满意的一致性为止。

表5-8 地下水功能评价的判断矩阵R_I值

（三）确定层次总排序权值

若上一层次A包含m个因子B₁，B₂，…，B_m，其层次总排序权值分别为a₁，a₂，…，a_m；下一层次B包含n个因子C₁，C₂，…，C_k，…，C_n，它们对于因子B_j的层次单排序权值分别为b_1j、b_2j，…，b_nj（当C_k与B_j无关系时，b_kj=0）。

于是，得到B层次总排序权值，如表5-9所示。

表5-9 地下水功能评价的B层次总排序权值的计算方法

续表