Question

一道数学竞赛题？

记G、O分别为△ABC的重心、外心，GA、GB、GC的中垂线两两交于点A₁、B₁、C₁。证明：O为△A₁B₁C₁的重心。

Answer 1

约定:括号内是下标,O[1]、O[2]、O[3]对应题中的A[1]、B[2]、C[3] 

已知(如图):G是△ABC的重心,GA、GB、

GC的中垂线两两相交于O[1]、O[2]、O[3].

求证:△ABC的外心O是△O[1]O[2]O[3]的重心.

证明:由已知O、O[3]、O[1]、O[2]分别是△ABC、

△GAB、△GBC、△GCA的外心.

作直线OO[1]分别交BC于D,交O[2]O[3]于X,连接GD.

则OO[1]是BC的中垂线,D是BC的中点.

B'是△GAB的外接圆与BC的交点,

C'是△GCA的外接圆与BC的交点,

M是BB'的中点,N是CC'的中点.

得O[3]M⊥BC，O[2]N⊥BC,DX⊥BC

O[3]M∥O[2]NO[3]∥DX (1)

DB*DB'=DG*DA=DC*DC'且DB=DC

有DB'=DC',2DM=DB+DB'=DC+DC'=2DN

得 DM=DN (2)

由(1)(2)得 XO[2]=XO[3]

即O[1]O过O[2]O[3]的中点.

由理可证:O[2]O过O[1]O[3]的中点.

所以 △ABC的外心O是△O[1]O[2]O[3]的重心.

注：图片中有更清晰的表述.