Question

已知抛物线经过点(-1,0),(0,3)其对称轴在y轴右侧

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。

Answer 1

（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3）， ∴设抛物线解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得 ， ∴抛物线的解析式为 。 （2）存在。 由 得D点坐标为（1，4），对称轴为x=1， ①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为(x，y)， 根据勾股定理，得 ，即y=4-x。 又P点(x，y)在抛物线上， ∴ ，即 ， 解得： ， （不合题意，舍去）， 所以 ， ， 即点P的坐标为 ； ②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上， 由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）， ∴符合条件的点P坐标为 或（2，3）。 （3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4）， 根据勾股定理，得CB= ，CD= ，BD= ， ∴ ， ∴∠BCD=90°， 设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F， 在Rt△DCF中，∵CF=DF=1， ∴∠CDF=45°， 由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3）， ∴DM∥BC， ∴四边形BCDM为直角梯形， 由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时， 顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况； 以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在。 综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）。