Question

已知数列{an}满足a1=1,an+1=3^n+an(n属于N*)，求数列的｛an｝的通项公式

an+1的n+1是下标！！

Answer 1

形如a(n+1)=a(n)+f(n)时，常用累加法解决
a1=1,a(n+1)=an+2^n
∴a(n)-a(n-1)=2^(n-1)
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a4-a3=2^3
a3-a2=2^2
a2-a1=2
把式子两边分别相加，得：
a(n)-a1=2+2^2+^3+……+2^(n-1)
∵数列f(n)是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴由等比数列的求和公式可得：
2+2^2+……+2^n=[2(1-2^(n-1))]/(1-2)
=-2+2^(n)
∴a(n)=f(n)+a1=2^n-1

Answer 2

将an移到等式左边
a(n+1)-an=3^n
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
......
a2-a1=3
将以上各式两边分别相加(第一个式子不要加进来)，得
an-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3，由a1=1
an=1+3+3^2+...+3^(n-1)=(3^n-1)/(3-1)=(3^n-1)/2

Answer 3

an+1-an=3^n,写出几项
a2-a1=3^1,a3-a2=3^2,a4-a3=3^3.。。。an-an-1=3^(n-1),an+1-an=3^n
全部累加起来
会发现an-a1=3^1+3^2+3^3+...+3^(n-1)+3^n
后面这个部分是等比数列
求和公式
算出来是A（我表示下，你自己算），那么an-a1=A，an=a1+A=1+A
。。。。OK