Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面积．

Answer 1

（1）连接EF，因为BE=2EC，CF=FD，所以S △DEF =（ 1 2 × 1 3 × 1 2 ）S □ABCD = 1 12 S □ABCD ，
因为S △AED =S □ABCD ，由蝴蝶定理，AG：GF= 1 2 ： 1 12 =6：1．
所以S △AGD =6S △GDF = 6 7 S △ADF = 6 7 × 1 4 S □ABCD = 3 14 S □ABCD ．
所以S △AGE =S △AED -S △AGD = 1 2 S □ABCD - 3 14 S □ABCD = 2 7 S □ABCD = 2 7 ．
（2）延长AF，交BC的延长线于M．

因为DF=CF；∠ADF=∠MCF=90°；∠AFD=∠MFC．
所以△ADF≌△MCF（ASA），AD=MC=BC．
又BE=2EC，则EC：BE=1：2，EC：BC=1：3=EC：AD=EC：CM=EC：AD．
故EM：AD=4：3=EG：GD，得EG：ED=4：7．
所以S △AEG ：S △AED =EG：ED=4：7．（同高三角形的面积比等于底之比）
所以，= 4 7 S △AED = 4 7 × 1 2 S 正方形ABCD = 4 7 × 1 2 ×1 2 = 2 7 ．