Question

证明函数f(X)=4x2在(0+∞)上是增函数？

Answer 1

要证明函数 f(x) = 4x^2 在区间 (0, +∞) 上是增函数，我们需要证明对于任意的 x1 和 x2，其中 0 < x1 < x2，有 f(x1) < f(x2)。
首先，我们计算 f(x1) 和 f(x2)：
f(x1) = 4x1^2
f(x2) = 4x2^2
接下来，我们比较 f(x1) 和 f(x2) 的大小：
f(x2) - f(x1) = 4x2^2 - 4x1^2
= 4(x2^2 - x1^2)
= 4(x2 + x1)(x2 - x1)
由于 0 < x1 < x2，那么 x2 + x1 > 0，x2 - x1 > 0。因此，(x2 + x1)(x2 - x1) > 0。
所以，我们得到 f(x2) - f(x1) > 0，即 f(x2) > f(x1)。这证明了对于任意的 x1 和 x2，其中 0 < x1 < x2，有 f(x1) < f(x2)。
因此，我们可以得出结论：函数 f(x) = 4x^2 在区间 (0, +∞) 上是增函数。

Answer 2

1.可用导数证明。f'(x)＝8x，当x＞0时，f'(x)＞0，因此函数单调增。这里就是要掌握基本函数的导数公式。用此方法比较简便。

2.也可用定义证明。任取0＜x1＜x2，则f(x2)-f(x1)＝4(x2平方-x1平方)＝4（x2+x1）(x2-x1)＞0，因此函数单调增。定义法需要一定的化简技巧，此题倒是没什么技巧，很容易判断大小。

两种方法都可以，也都不难掌握。

供参考

Answer 3

证明：设a＞b＞0，则：
f（a）－f（b）＝4a²－4b²＝4（a²－b²）＝4（a＋b）（a－b）
∵a＞b＞0，
∴a＋b＞0，a－b＞0，
∴f（a）－f（b）＞0，
∴f（x）＝4x²在（0，＋∞）上是增函数。

Answer 4

f(x)= 4x^2
f'(x) = 8x > 0 ; x>0
=>
f(x)=4x^2 在(0+∞) 上是增函数