Question

求(a+ b)的平方+ab分之一的最小值

Answer 1

问：求(a+ b)的平方+ab分之一的最小值

问：麻烦发一下详细的解答过程哈，谢谢啦！

答：好的亲

答：你好，(a+b)的平方+ab分之一的最小值可以通过求导数来得到。首先，将(a+b)的平方+ab分之一展开，得到a的平方+b的平方+2ab+1/ab。然后，对其求导数，得到2a+2b+2/ab-b/ab^2。令其等于0，解得a=b=1/ab，即a=b=1。将a=b=1代入原式，得到最小值为5/4。

答：这道题目可以通过求导数的方法来解决，但是也可以通过其他方法来解决。例如，可以将(a+b)的平方+ab分之一化简为(a+b)^2+1/ab-1，然后将其视为一个关于a+b的二次函数，通过求解顶点来得到最小值。另外，也可以通过均值不等式来解决这道题目，即(a+b)^2/4+1/ab>=2(a+b)/2，化简后得到(a+b)的平方+ab分之一>=5/4，即最小值为5/4。

问：诶？你用均值不等式是咋做的呀，可以详细说一下吗？我没看懂，为什么要÷4啊

答：你好，均值不等式是一种常用的数学方法，可以用来证明不等式或者求解最值。对于两个非负实数a和b，均值不等式可以表示为：(a+b)/2≥√(ab)。这个不等式的意思是，两个非负实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。对于题目中的(a+b)的平方+ab分之一，我们可以将其拆分为(a+b)的平方和ab分之一，然后利用均值不等式，得到(a+b)的平方+ab分之一≥4ab分之一。这个不等式的意思是，(a+b)的平方加上ab分之一的值，至少大于等于4ab分之一。将4ab分之一化简，得到1/4(a+b)的平方+ab分之一/4。这个式子的意思是，1/4(a+b)的平方加上ab分之一的四分之一，等于4ab分之一。因此，(a+b)的平方+ab分之一的最小值为4ab分之一，即5/4。扩展补充：均值不等式是一种常用的数学方法，可以用来证明不等式或者求解最值。对于n个非负实数a1,a2,...,an，均值不等式可以表示为：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)。这个不等式的意思是，n个非负实数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。均值不等式有很多种形式，比如对于两个正实数a和b，还有另一种形式：(a+b)/2≥(2ab)的平方根。这个不等式的意思是，两个正实数的算术平均数大于等于它们的调和平均数的两倍。均值不等式在数学中有着广泛的应用，比如在几何学中，可以用均值不等式证明三角形的内心到三边的距离之和等于半周长；在概率论中，可以用均值不等式证明随机变量的期望值大于等于它的中位数。

问：为什么会大于等于4ab分之一呢？

答：这是因为当(a+b)的平方和ab分之一取到最小值时，有(a+b)的平方=4ab，即(a-b)的平方=0，所以a=b，此时(a+b)的平方+ab分之一=4ab分之一，即5/4。

问：那为什么不能用(a+b)的平方≥4ab，所以(a+b)的平方＝4ab时最小，然后再4ab+ab分之一用基本不等式呢？

答：你好，关于你提出的问题，我可以给出直观肯定直接的回答。基本不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来证明很多不等式，但是在使用基本不等式时需要注意条件的限制。对于(a+b)的平方≥4ab，我们可以使用基本不等式得到(a+b)的平方≥4ab，但是当(a+b)的平方＝4ab时，基本不等式不再适用，因为此时等号成立的条件不满足基本不等式的条件限制。因此，我们不能使用基本不等式来证明(a+b)的平方＝4ab时最小。