Question

∑n=1(-1)ⁿ(2n-1)!!/(2n)!!

Answer 1

问：∑n=1(-1)ⁿ(2n-1)!!/(2n)!!

答：您好呀！亲！这个式子可以化简为-1/2，即负一半。依据莱布尼茨公式可得：∑n=1(-1)ⁿ(2n-1)!!/(2n)!! = 1/2! - 3/4! + 5/6! - 7/8! + ...可以看出，每两项之间的差都是一个小于零的数除以一个大于零的数，所以这个级数是收敛的。而依据级数求和公式，可得该级数的和为-1/2。这个级数其实是正弦函数在π/2处的值，即sin(π/2)=-1/2。所以，我们也可以通过正弦函数的泰勒级数推导出这个结果。

问：是绝对收敛还是条件收敛

答：您好呀！亲这个级数是条件收敛的。依据Leibniz判别法，当一个交错级数的绝对值序列单调递减趋于0时，该级数收敛。而在这个级数中，绝对值序列为：∑n=1(2n-1)!!/(2n)!!可以看出，该序列并不单调递减，所以该级数只是条件收敛。

问：绝对值怎么证明收敛还是发散

答：您好呀！亲，要判断一个级数的绝对值是否收敛，可以使用比较判别法、比值判别法或根值判别法。以比较判别法为例，假设我们有两个级数∑a_n和∑b_n，且对于所有n，有|a_n|≤b_n，则有以下结论：若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也收敛。若级数∑b_n发散，则级数∑a_n也发散。在这个问题中，要证明绝对值序列的收敛性，我们可以使用比较判别法，将该序列与一个已知的收敛级数或发散级数进行比较。由于(2n-1)!!/(2n)!! ≤ 1/n所以，我们可以将原级数与调和级数进行比较，即∑n=1∞|(2n-1)!!/(2n)!!| ≤ ∑n=1∞1/n而调和级数是一个发散的级数，所以依据比较判别法，原级数的绝对值也发散。所以，这个级数既不是绝对收敛也不是简单收敛，而是条件收敛的。