Question

如图允许一根长度为L、质量为M的均匀细杆绕其末端转动，1、用积分法，推导出杆绕其末端转动惯量，表明它是ML^2/ 3。2、如图该杆一端固定，允许从水平位置A通过垂直位置B下落。推导出杆在位置b处自由端速度的表达式，用术语表达你的答案

Answer 1

问：如图允许一根长度为L、质量为M的均匀细杆绕其末端转动，1、用积分法，推导出杆绕其末端转动惯量，表明它是ML^2/ 3。2、如图该杆一端固定，允许从水平位置A通过垂直位置B下落。推导出杆在位置b处自由端速度的表达式，用术语表达你的答案

答：亲亲很高兴为您解答哦,如图允许一根长度为L、质量为M的均匀细杆绕其末端转动，1、用积分法，推导出杆绕其末端转动惯量，表明它是ML^2/ 3。2、如图该杆一端固定，允许从水平位置A通过垂直位置B下落。推导出杆在位置b处自由端速度的表达式，用术语表达你的答案：推导出杆绕其末端转动惯量为ML^2/3：根据转动惯量的定义，可以将细杆看做由无数小质点组成，每个小质点的质量为 dm，距离杆某一点的距离为 r，绕该点转动的转动惯量为 dm*r^2。因为杆是均匀的，所以每个小质点的质量相等，即 dm=M/L，其中L为杆的长度。并且因为杆绕端点旋转，所以可以将每个小质点的距离表示成杆上某一点到端点的距离加上 r0，其中 r0 为该点到杆的一个端点的距离。因此，对杆上每个小质点的转动惯量进行积分：I = ∫(M/L) * [r0^2 + (L - r0)^2] dr0，化简可以得到：I = ML^2/3

答：推导出杆在位置b处自由端速度的表达式：当杆的自由端达到位置 b 时，它的势能完全转化成动能。根据机械能守恒定律，势能转化成的动能等于杆自由端的动能，即：Mgh = (1/2)Mv^2 + (1/3)ML^2ω^2其中，h 为起始位置到位置 b 的高度差，v 为杆自由端的速度，ω 为杆绕端点的角速度。由于杆在绕着端点旋转，所以有 v = Lω，代入上式得到：Mgh = (1/2)ML^2ω^2 + (1/3)ML^2ω^2，化简可得：v = (2gh/3)^0.5因此，杆在位置 b 处的自由端速度为(2gh/3)^

问：第二问呢

答：推导出杆在位置b处自由端速度的表达式：当杆的自由端达到位置 b 时，它的势能完全转化成动能。根据机械能守恒定律，势能转化成的动能等于杆自由端的动能，即：Mgh = (1/2)Mv^2 + (1/3)ML^2ω^2其中，h 为起始位置到位置 b 的高度差，v 为杆自由端的速度，ω 为杆绕端点的角速度。由于杆在绕着端点旋转，所以有 v = Lω，代入上式得到：Mgh = (1/2)ML^2ω^2 + (1/3)ML^2ω^2，化简可得：v = (2gh/3)^0.5因此，杆在位置 b 处的自由端速度为(2gh/3)^

答：发您了哦亲亲