Question

已知函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R,A,ω>0,-π/2<π/2)图像上的一个最高点为P(2,√2)

已知函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R,A,ω>0,-π/2<π/2)图像上的一个最高点为P(2,√2)由这个最高点到相邻最低点间的曲线与x轴相交于Q（6，0） ①求这个函数的解析式 ②写出这个函数的单调区间

Answer 1

y=Asin(wx+φ)（A>0,w>0,|φ|<π/2)图像上的最高点为P（2，根号2）,所以A=根号2，且sin（2w+φ)=1，又最高点到相邻最低点之前的曲线与x轴交于点(6,0),因此T=4x4=16.W=2π/16=π/8,2w+φ=π/2,所以φ=π/4,所以函数解析式为y=根号2sin（π/8x+π/4)
(2)2kπ-π/2<π/8x+π/4<2kπ+π/2,16k-6<x<16k+2 （k为整数） 所以函数单调增区间为(16k-6,16k+2) ，单调减区间为(16k+2,16k+10)

Answer 2

1）截距为1，说明x=0时，f(x)=1，Asin(φ)=1。最大值和最小值分别为2、-2,说明振幅A为2，可求得φ=π/6最大值和最小值的x之间相差3/2，说明周期为3，即2π/ω=3。所以f(x)=2sin((2/3)πx π/6)。
2）假设f(x)取得最大值时g(x)也取得最大值，则 6=a*2 b, 2=a*(-2) b，可解得a=1,b=4。假设f(x)取得最大值时g(x)取得最小值，则6=a*(-2) b, 2=a*2 b，可解得a=-1,b=4。