Question

反常积分求导

为什么有些反常积分直接带上下限就会出错，比如f（x）=（积分积分上下限是x方，1） (x^2-t)e^(-t^2
)是不是积分运算里面如果是符合函数就不能直接带上下限直接求导

Answer 1

变量是否需要换元，就是看积分函数里，有没有要求导的自变量，这里上面的式子有x-t，那么就不能直接对x求导，需要进行换元。

进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。

x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。

单调性：

（1）若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。

（2）若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。

根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：

如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。

Answer 2

这样的积分函数肯定不能直接求导的啊，
积分的式子(x^2-t)e^(-t^2) 里还有x 的啊，要先提取出来的
要把拆分成
f(x)=x^2 * ∫(上下限x^2,1) e^(-t^2) dt - ∫(上下限x^2,1) t *e^(-t^2) dt
这样对x求导得到
f '(x)=2x * ∫(上下限x^2,1) e^(-t^2) dt + x^2 * e^(-x^4) *(x^2)' - x^2 * e^(-x^4) *(x^2)'
= 2x * ∫(上下限x^2,1) e^(-t^2) dt

追问

厉害，我瞬间懂了！！你那句话真是精辟，积分里面有x是不能直接求导的

追答

恩，懂了就好啊，做题目的时候细心一点呢