Question

已知正实数a和b，满足a b=1，求(a＋1/a).(b＋1/b)得最小值

Answer 1

a、b∈R+,且a+b＝1.
本题目的解法非常多，选个简单的：

方法一：
ab≤[(a+b)/2]^2＝1/4.
设ab＝t≤1/4,则
(a+1/a)(b+1/b)
＝(ab+1/ab)+(a/b+b/a)
≥(ab+1/ab)+2√(a/b·b/a)
＝(t+1/t)+2.
依对勾函数单调性知，
0<t≤1/4时，f(t)＝t+1/t递减.
即f(t)≥f(1/4)＝17/4.
故所求最小值为：(17/4)+2＝25/4。

方法二：
构造函数f(t)＝ln(t+1/t),
用导数易判断，f(t)为下凸函数，
∴依Jensen不等式得
f(a)+f(b)≥2f[(a+b)/2]＝2f(1/2)＝ln(25/4)
∴ln(a+1/a)+ln(b+1/b)≥ln(25/4)
→(a+1/a)(b+1/b)≥25/4.
故所求最小值为：25/4。