Question

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．

已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接OE，若四边形AOED是平行四边形，求∠CAB的大小．

Answer 1

（1）证明：连接OD； ∵AO=BO，BE=CE， ∴OE ∥ AC． ∴∠BOE=∠A，∠EOD=∠ODA． 又∵OD=OA， ∴∠A=∠ODA， ∴∠EOD=∠EOB． 又∵OD=OB，OE=OE， ∴△DOE≌△BOE， ∴∠ODE=∠B=90°． 即DE是⊙O的切线． （2）由（1）得，OE ∥ AC，且OE= 1 2 AC； ∵四边形AOED为平行四边形， ∴OE=AD=CD， ∴四边形OECD为平行四边形， ∴∠C=∠DOE． 又∵∠A=∠DOE且∠B=90°， ∴∠A=∠C=45°．