Question

数列{an}前n项和为Sn，a1=4，an+1=2Sn-2n+4．（1）求证：数列{an-1}为等比数列；（2）设bn＝an?1anan+1，

数列{an}前n项和为Sn，a1=4，an+1=2Sn-2n+4．（1）求证：数列{an-1}为等比数列；（2）设bn＝an?1anan+1，数列{bn}前n项和为Tn，求证：8Tn＜1．

Answer 1

证明：（1）∵a_n+1=2S_n-2n+4，∴n≥2时，a_n=2S_n-1-2（n-1）+4
∴n≥2时，a_n+1=3a_n-2（2分）
又a₂=2S₁-2+4=10，∴n≥1时a_n+1=3a_n-2（4分）
∵a₁-1=3≠0，∴a_n-1≠0，
∴

an+1?1

an?1

＝3，∴数列{a_n-1}为等比数列　　　　　　（6分）
（2）由（1）an?1＝3n，∴an＝3n+1，
∴bn＝

3n

(3n+1)(3n+1+1)

＝

1

2

(

1

3n+1

?

1

3n+1+1

)（9分）
∴Tn＝

1

2

(

1

31+1

?

1

32+1

+

1

32+1

?

1

33+1

+…+

1

3n+1

?

1

3n+1+1

)=

1

2

(

1

4

?

1

3n+1+1

)（11分）
∴Tn＜

1

8

，
∴8T_n＜1（12分）