Question

学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局．

学校举办一次中国象棋比赛，有10名同学参加，比赛采用单循环赛制，每名同学都要与其他9名同学比赛一局．比赛规则，每局棋胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．比赛结束后，10名同学的得分各不相同，已知：（1）比赛第一名与第二名都是一局都没有输过；（2）前两名的得分总和比第三名多20分（3）第四名的得分与最后四名的得分和相等，那么，排名第五名的同学的得分是______？

Answer 1

由题意可知，需共比赛10×9÷2=45场比赛，产生的分值共90分．
假设第一名赢了全部9场比赛，则他得18分．
由（1）可得，第一名一定和棋过．所以第一名最多17分，第二名最多16分．
第一种情况：不妨设第一名得17分，第二名得16分，则前两名的得分总和是33分．由条件“（2）前两名的得分总和比第三名多20分”，则第三名分数为33-20=13分．
①若设第四名为12分，则第7、8、9、10名的分数和为12分．第五名为11分，第六名分数为9分．全部满足条件．
②若设第四名为11分，则第7、8、9、10名的分数和为11分．此时第五与六名的分数和为：90-33-13-11-11=22分．必定有人分数高于11分，矛盾．
③若设第四名得分低于11分，则同样可推出矛盾．
第二种情况：不妨设第一名和第二名总分为32分（第一名得17分，第二名得15分），则第三名为32-20=12分．第四名最多为11分．
那么第7、8、9、10名的分数和为11分．第五名和第六名分数和为24分．结果推导出矛盾来．其它情况都会推导出矛盾．
因此，第五名的成绩是11分．
故答案为：11．