已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过点E(a2/c,0)的直
已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过点E(a2/c,0)的直线与椭圆交于点A、B两点且F1A‖F2B,‖F...
已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),过点E(a2/c,0)的直线与椭圆交于点A、B两点且F1A‖F2B,‖F1A‖=2‖F2B‖
(1)求椭圆的离心率
(2)直线AB的斜率
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求n/m的值。 展开
(1)求椭圆的离心率
(2)直线AB的斜率
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上,求n/m的值。 展开
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由F1A//F2B且|F1A|=2|F2B|
☞|EF1|/|EF2|=|F2B|/|F1A|=1/2*(a²/c-c)/(a²/c+c)☞e=√3/3
2)b2=a2-c2=2c2
∴ 2x2+3y2=6c2
设直线AB:y=k(x-a²/c)=k(x-3c)①,设A(x1,y1)、B(x2,y2),
2x²+3y²=6c²②,①②☞(2+3k²)x²-18k²cx+27k²c²-6c²=2,Δ>0即-√3/3<k<√3/3
x1+x2=18k²c/(2+3k²)③,x1x2=(27k²c²-6c²)/(2+3k²)④
设B为AE中点,x+3c=2x2⑤
③⑤☞x1=(9k²c²-2c²)/(2+3k²),x2=(9k²c²+2c²)/(2+3k²)☞k=±√2/3
当x1=0,x2=3c/2,当k=-√2/3,A(0,√2c),B(0,-√2c)
线段AF1的垂直分线l的方程:y-√2c/2=-√2/2*(x+c/2)
直线l与x轴的交点为(c/2,0),是△AF1C的外接圆的圆心
因此外接圆方程(x-c²/2)²+y²=(c+c/2)²
FB:y=√2(x-c) ☞n,m满足一下关系
(n-c²/2)²+m²=(c+c/2)²
m=√2(n-c),m≠0
所以k=-√2/3时,n/m=2√2/5
☞|EF1|/|EF2|=|F2B|/|F1A|=1/2*(a²/c-c)/(a²/c+c)☞e=√3/3
2)b2=a2-c2=2c2
∴ 2x2+3y2=6c2
设直线AB:y=k(x-a²/c)=k(x-3c)①,设A(x1,y1)、B(x2,y2),
2x²+3y²=6c²②,①②☞(2+3k²)x²-18k²cx+27k²c²-6c²=2,Δ>0即-√3/3<k<√3/3
x1+x2=18k²c/(2+3k²)③,x1x2=(27k²c²-6c²)/(2+3k²)④
设B为AE中点,x+3c=2x2⑤
③⑤☞x1=(9k²c²-2c²)/(2+3k²),x2=(9k²c²+2c²)/(2+3k²)☞k=±√2/3
当x1=0,x2=3c/2,当k=-√2/3,A(0,√2c),B(0,-√2c)
线段AF1的垂直分线l的方程:y-√2c/2=-√2/2*(x+c/2)
直线l与x轴的交点为(c/2,0),是△AF1C的外接圆的圆心
因此外接圆方程(x-c²/2)²+y²=(c+c/2)²
FB:y=√2(x-c) ☞n,m满足一下关系
(n-c²/2)²+m²=(c+c/2)²
m=√2(n-c),m≠0
所以k=-√2/3时,n/m=2√2/5
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