考研 线性代数 10题怎么证明？ 20
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正交其实就是线性无关的一种，证明的时候，可以按照正交的定义
内积等于0,
用反证法，假设线性相关，则
存在不全为0的系数ki，使得积之和x
=k1a1+k2a2+...+kn-1an-1+knb
等于0
然后用b对x求内积，得到
b(k1a1+k2a2+...+kn-1an-1+knb)=0
也即
k1ba1+k2ba2+...+kn-1ban-1+knbb=0 【1】
显然因为b与ai正交，则bai=0,
则【1】式化为knbb=0
因为bb不为0，则kn=0,
则【1】式为
k1ba1+k2ba2+...+kn-1ban-1=0
其中ki不全为0，则说明ai线性相关，与题设矛盾，因此假设不成立。
内积等于0,
用反证法，假设线性相关，则
存在不全为0的系数ki，使得积之和x
=k1a1+k2a2+...+kn-1an-1+knb
等于0
然后用b对x求内积，得到
b(k1a1+k2a2+...+kn-1an-1+knb)=0
也即
k1ba1+k2ba2+...+kn-1ban-1+knbb=0 【1】
显然因为b与ai正交，则bai=0,
则【1】式化为knbb=0
因为bb不为0，则kn=0,
则【1】式为
k1ba1+k2ba2+...+kn-1ban-1=0
其中ki不全为0，则说明ai线性相关，与题设矛盾，因此假设不成立。
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