Question

急急急~~！！数学

已知函数y=√（2x^2+1）,(x>0),数列an满足：a1=1,且an=f（a(n-1)）,(n>=2,n属于N*)
若b1=2/(a1+a2),b2=2^2/(a2+a3),……，bn=2^n/(an+a(n+1)),求数列bn的前n项式的和。。。

谢啦
解得太难了啊。。。。。。。。我还没上高二，没学数列，这些是自己预习的啊。。。只看到等差数列，不晓得等比数列啊。。

Answer 1

注意到an^2=2(a(n-1))^2+1,
因此an^2+1=2[(a(n-1))^2+1]
因此an^2+1为首项为2，公比为2的等比数列
有：an^2+1=2^n,an=√(2^n-1)
因此,bn=2^n/[√(2^n-1)+√(2^(n+1)-1)]
设2^n=k，则bn=k/[√(k-1)+√(2k-1)]
=√(2k-1)-√(k-1)]
=√[(2^(n+1)-1]-√(2^n-1)
所以，Sn=b1+b2+...+bn
=（√3-1)+(√5-√3)+（√7-√5）+...+[√[(2^(n+1)-1]-√(2^n-1)]
=√[(2^(n+1)-1]-1
PS:一般非等比或等差的数列要注意变形化成等比等差数列来处理，写出数列的通项公式一般对解题也会有所帮助。希望能帮助到你

Answer 2

解：
由已知有An²=2A(n-1)²+1,可设Cn=An²,则

Cn = 2C(n-1) + 1, C1 = 1

推出 Cn + 1 = 2[C(n-1) + 1] , C1 + 1 = 2

∴{Cn+1}为等比数列，易得 Cn + 1 = 2^n

∴ An = √Cn = √(2^n-1)

因此 Bn = 2^n / (An + A(n+1))

= 2^n (An-A(n+1)) / (An²-A(n+1)²)

= 2^n (An-A(n+1)) / (2^n-1-2^(n+1)+1)

= - (An-A(n+1))

故有 Sn = ∑Bn

= -[(A1-A2) + (A2-A3) + (A3-A4) + …… + (An-A(n+1))]

= -[A1 - A(n+1)]

= A(n+1) - A1

= √[2^(n+1)-1] - 1