Question

若函数f(x)=loga(x^3-ax)(a>0,a不等于1)在区间(-1/2,0)内单调递增，则a取值范围

若函数f(x)=loga(x^3-ax)(a>0,a不等于1)在区间(-1/2,0)内单调递增，则a取值范围是多少？
不要用导数的方法- -我不太会
这是道选择题，A.[1/4,1) B[3/4,1) C(9/4,+∞) D(1,9/4)
抱歉，刚才我忘了打上选项了
囧兔子囧，t'=3x^2-a=0是导数吧（我没学过，猜的- -）看不懂。
我就是想知道怎么推断大概范围的，谢啦

Answer 1

解:分下面三步完成
第一步：先求函数的定义域
x^3-ax＞0 ==> (x+√a)x(x-√a)＞0
==> -√a＜x＜0或√a＜x＜+∞
所以定义域是：(-√a，0)∪(√a，+∞)。
第二步：设t=x^3-ax，则t'=3x^2-a=0 ==> x=±√(a/3),所以它在原函数的定义域下的单调性如下：
在(-√a，-√(a/3))上为增函数，
在(-√(a/3)，0)上为减函数，
在(√a，+∞)上为增函数。
第三步：分段讨论原函数的单调性。
(1)若0＜a＜1，则外层的对数函数是减函数，
因而要使f(x)在区间(-0.5,0)内单调递增，必须内层函数t=x^3-ax要在(-0.5,0)内单调递减，因此-√(a/3)＜-0.5 ==> 3/4＜a＜1。
(2)若a＞1，则外层的对数函数是增函数，
因而要使f(x)在区间(-0.5,0)内单调递增，必须内层函数t=x^3-ax要在(-0.5,0)内单调递增，因此-√(a/3)＞0 ==>a＜0 这不可能。
因此，综合两种情况得：a的取值范围是3/4＜a＜1.

Answer 2

复合函数单调性问题，判断y=logaX和y=x^3-ax的单调性，第二个函数判断单调性最方便的方法就是用导数（导数其实灰常灰常简单滴），你写那个式子3x^2-a就是第二个函数的导数。一阶导数（就是求一次导后的式子）大于零则函数是增函数，小于零时减函数
言归正传，复函数的单调性判断准则知道吧？
如果0<a<1，第一个函数递减，要是f（x）增，那么第二个函数必减，即导数大于零，考虑第二个函数导数的图像，应在(-1/2,0)左端取最大值，代入，3*（-1/2）^2-a=<0,得a>=3/4
肯定选B了。完整做法还要考虑a>1的情况（不成立）,选择题就算了