Question

请教一道考研数学题，请问这题的积分区间怎么理解呢？为什么B点不需要考虑呢？

Answer 1

这要从二重积分积分限的确定方法说起。为了把问题说清楚，以下解答在①、②两部分可能会过于详细了一点，请耐心细读并随手用笔画着草图以帮助理解。

① 二重积分化为累次积分时，若选择先对x、后对y积分，则需要把积分区域D往y轴上投影。

设投影区间是[c,d]，则对y积分的下限为c、上限为d.

需要注意的是，在投影的同时，D的边界曲线被分为左右两段。设位于左侧的一段为x＝φ(y)、位于右侧的一段为x＝ψ(y)，且暂且假设两段曲线都是光滑的。

为确定对x的积分限，通常正确的方法是在[c,d]上任取一点y，过该点作垂直于y轴（平行于x轴）的直线L。L与D的左侧曲线段交点的横坐标φ(y)就是对x积分的下限，而与右侧曲线段交点的横坐标ψ(y)就是对x积分的上限。于是有

∫∫(D) f(x,y)dxdy＝∫(c,d)dy∫(φ(y),ψ(y)) f(x,y)dx.

② 若选择先对y、后对x积分，则需将积分区域D往x轴上投影。设投影区间是[a,b]，则对x的积分下限为a、上限为b.

设在投影的同时D被分隔成的下、上两段边界曲线分别为y＝φ(x)、y＝ψ(x).且依然假设这两个曲线段都是光滑的。则类似于①，只要在[a,b]上任取一点x，过这点作垂直于x轴的直线，便知该直线与下曲线段交点的纵坐标φ(x)就是对y积分的下限，而与上曲线段交点的纵坐标ψ(x)就是对y积分的上限。于是有

∫∫(D)f(x,y)dxdy＝∫(a,b)dx∫(φ(x),ψ(x))f(x,y)dy.

需要特别注意的是：上述做法都有一个重要前提，即被分隔成的曲线段都是光滑的！

一旦出现不光滑的情况，就要按下面所述进行。

③ 边界曲线段有不光滑的情况

确定先对y、后对x积分以后，如果在将D向x轴投影时，D的边界被分隔成的下、上两段曲线有不光滑的，比如下曲线段在[a,b]中间的某点c处出现了尖点，那么在[a,c]与[c,b]两个区间上曲线段的方程必然不同（分别设为y＝α(x)和y＝β(x)）。这时候你会发现，在确定对y的积分限时，如果点x取在[a,c]上，则过点x所作垂直于x轴的直线与下曲线段交点的纵坐标是α(x)，而与上曲线段交点的纵坐标会是β(x).这就逼迫我们不得不把积分区域在x＝c处分开。这就是为什么有时会把二重积分的积分区域分成两部分的原因。

先对x、后对y积分的情形有累似的讨论，所不同的是需要将D向y轴投影，而投影的同时被分隔成的左右两段边界曲线段中有出现尖点的情况。

总之，⑴把D向x轴投影时，如果被分隔成的某个边界曲线段上出现了尖点，一般不宜采用先对y、后对x积分，而应采用另一积分次序；⑵若一定要采用先对y、后对x积分，则必须在曲线段出现尖点之处把积分区域D一分为二，将原来的二重积分写成两个部分区域上二重积分的和，再进行计算。