Question

求函数Y=根号（2x+4）-根号（x+3）的值域，（用柯西不等式）

求函数Y=根号（2x+4）-根号（x+3）的值域，（用柯西不等式）

Answer 1

2x+4≥0，x≥-2
x+3≥0，x≥-3
x≥-2

√(2x+4)-√(x+3)≥0
√(2x+4)≥√(x+3)
2x+4≥x+3
x≥-1

√(2x+4)-√(x+3)＜0
√(2x+4)＜√(x+3)
2x+4＜x+3
x＜-1

∴当x取得最小值时，y有最小值
x=-2，y=-1

y∈[-1,+∞]

Answer 2

解：函数的定义域由2x+4≥0x+3≥0​求得x≥-2．
求导得y′=12x+4-12
x+3
=2
x+3-
2x+42
2x+4•
x+3．
令y′＞0得2x+3＞2x+4，
即2x+4＞0x+3＞04(x+3)＞2x+4​解得x＞-2，
即函数y=2x+4-x+3在（-2，+∞）上是增函数．
又此函数在x=-2处连续，∴在[-2，+∞）上是增函数，而f（-2）=-1．
∴函数y=2x+4-x+3的值域是[-1，+∞）．