求解一道积分题目∫t/(1+t)(1+t²)²dt
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分享解法如下。①先“凑积分”。∵tdt=(1/2)d(1+t²)，∴原式=(-1/2)/[(1+t)(1+t²)]-(1/2)∫dt/[(1+t)²(1+t²)]。
②应用待定系数法。设1/[(1+t)²(1+t²)]=(at+b)/(1+t)²+(ct+d)/(1+t²)。解得a=1/2、b=1、c=-1/2、d=0。∴1/[(1+t)²(1+t²)]=(1/2)[1/(t+1)+1/(1+t)²-t/(1+t²)]。
∴原式=(-1/2)/[(1+t)(1+t²)]-(1/4)[ln丨1+t丨-1/(1+t)-(1/2)ln(1+t²)]+C=(-1/4)[(1-t)/(1+t²)+ln丨1+t丨-(1/2)ln(1+t²)]+C。
②应用待定系数法。设1/[(1+t)²(1+t²)]=(at+b)/(1+t)²+(ct+d)/(1+t²)。解得a=1/2、b=1、c=-1/2、d=0。∴1/[(1+t)²(1+t²)]=(1/2)[1/(t+1)+1/(1+t)²-t/(1+t²)]。
∴原式=(-1/2)/[(1+t)(1+t²)]-(1/4)[ln丨1+t丨-1/(1+t)-(1/2)ln(1+t²)]+C=(-1/4)[(1-t)/(1+t²)+ln丨1+t丨-(1/2)ln(1+t²)]+C。
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