Question

可导、连续、可微

Answer 1

limf(x,y)=f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)连续；

连续表示函数在该点不间断；

在x0处的左右极限存在且相等则函数连续；

连续是可导和可微的必要条件；
连续表示函数是一条光滑曲线；

有函数f(x)，Δx为函数x0的增量， Δf=f(x0+Δx)-f(x0) ，若： limΔf/Δx=lim (f(x0+Δx)-f(x0)) / Δx 存在（Δx->0)，则称函数在x0处可导；

如果 limΔf/Δx 为某个值，则是可导，为无穷大，则不可导；

Δf相当于x0在y轴的增量，Δx相当于x0在x轴的增量，而Δf/Δx其实就直角三角形对边比邻边的比值；
比值大，实际就是变化率大，也就是x增加一点点，y值变化很大。

函数可导的充要条件：函数在该点连续且左导数、右导数都存在并相等。

有多元函数f(x,y)，x为函数x的增量，Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)，若Δf与Δx,Δy的关系是 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ) ，则称f(x,y)在(x,y)处可微；

其中A和B是不随Δx和Δy变化的常量，这里的ρ=√Δx 2+Δy 2，o(ρ) 是ρ的高阶无穷小。

如果函数某一点可微，则函数在该点的导数（或偏导数）存在，且在该点连续；

参考资料：
https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%AF%E5%AF%BC

https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%AF%E5%BE%AE