Question

设x1=2,Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)(n=1,2,…),证明数列{Xn}收敛,并求其极限.？

Answer 1

先用数归证1,6,不动点法。令f（x）=（1/2）[x+（1/x）]，x＞0
f'（x）=（1/2）（x²-1）/x²，可知当x＞1时f'（x）＞0，f（x）为增函数
令f（x）＞x，即（1/2）[x+（1/x）]＞x，得0＜x＜1，可知不动点为x=1，x＞1时f（x）＜x
x1=2＞1，于是f（1）＜f（x1）＜x1，
得1＜x2＜x1，同理f（1）＜f（x2）...,3,Xn显然>0
由均值不等式
X(n+1)>=1
X(n+1)-Xn=1/2(1/xn-xn)<=0
Xn递减且有下界，收敛
设limXn=a>0
由Xn+1=1/2(Xn+1/Xn)
a=1/2(a+1/a)
=>a=1
希望对你有帮助！,0,