Question

设函数y=f(x)是定义在R上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(3分之1）=1，求f(1)?

如果f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范围。

Answer 1

由题得：f（1/3）=f（1/3*1）=f（1/3）+f（1）
所以 f（1）=0

因为f（9分之1）=f（ 1/3*1/3）=f(1/3)+f(1/3）=2
原不等式早橘可化为f（2x-x^2)<f(1/陆山团9）
f（x)为减函数 2x-x^2>1/9
解此不等式得 x>1+2/3√2 或 x<唯银1-2/3√2

Answer 2

f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)

所以f(1)=0

f(1/3)=1
所以2=f(1/3)+f(1/3)=f[(1/3)*(1/3)]=f(1/9)
f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<2
也即核凳f[x(2-x)]<f(1/9)
因为f(x)是减函数
所以x(2-x)>1/9

求解得x>2+√改薯旅37/3 或手耐x<2-√37/3

Answer 3

f(xy)=f(x)+f(y)，令数郑高y=1,f(x)=f(x)+f(1),f(1)=0

f(x)=f(3x)+f(1/丛旦3)=f(9x)+2f(1/3)=f(9x)+2
f(9x)+2+f(2-x)<2，f(9x)+f(2-x)=f(9x(2-x))<0=f(1)

9x(2-x)<薯尺1,9x^2-18x+1>0,自己解去吧