Question

2015年高考数学专项练习题：函数的单调性与最值

Answer 1

一、选择题

　　1.下列函数中，既是偶函数又在(0，+∞)内单调递减的函数是(　　).

　　A.y=x2 B.y=|x|+1

　　C.y=-lg|x| D.y=2|x|

　　解析　对于C中函数，当x>0时，y=-lg x，故为(0，+∞)上的减函数，且y=-lg |x|为偶函数.

　　答案　C

　　.已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)

　　A.(-1,1) B.(0,1)

　　C.(-1,0)(0,1) D.(-∞，-1)(1，+∞)

　　解析　f(x)在R上为减函数且f(|x|)

　　|x|>1，解得x>1或x<-1.

　　答案　D

　　.若函数y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，则y=ax2+bx在(0，+∞)上是(　　)

　　A.增函数 B.减函数

　　C.先增后减 D.先减后增

　　解析y=ax与y=-在(0，+∞)上都是减函数，

　　a<0，b<0，y=ax2+bx的对称轴方程x=-<0，

　　y=ax2+bx在(0，+∞)上为减函数.

　　答案B

　　4.设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1)，则函数g(x)的递减区间是(　　).

　　A.(-∞，0] B.[0,1)

　　C.[1，+∞) D.[-1,0]

　　解析　g(x)=如图所示，其递减区间是[0,1).故选B.

　　答案　B.函数y=-x2+2x-3(x<0)的单调增区间是(　　)

　　A.(0，+∞) B.(-∞，1]

　　C.(-∞，0) D.(-∞，-1]

　　解析　二次函数的对称轴为x=1，又因为二次项系数为负数，，对称轴在定义域的右侧，所以其单调增区间为(-∞，0).

　　答案　C

　　.设函数y=f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=取函数f(x)=2-|x|，当K=时，函数fK(x)的单调递增区间为(　　).

　　A.(-∞，0) B.(0，+∞)

　　C.(-∞，-1) D.(1，+∞)

　　解析　f(x)=

　　f(x)=

　　f(x)的图象如右图所示，因此f(x)的单调递增区间为(-∞，-1).

　　答案　C二、填空题

　　.设函数y=x2-2x，x[-2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)=________.

　　解析　函数y=x2-2x=(x-1)2-1，对称轴为直线x=1.

　　当-2≤a<1时，函数在[-2，a]上单调递减，则当x=a时，ymin=a2-2a;当a≥1时，函数在[-2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x=1时，ymin=-1.

　　综上，g(a)=

　　答案
　.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是_______.

　　解析y=-(x-3)|x|

　　=

　　作出该函数的图像，观察图像知递增区间为.

　　答案

　　.已知函数f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞，3)上是减函数，则a的取值范围是________.

　　解析　当a=0时，f(x)=-12x+5在(-∞，3)上为减函数;当a>0时，要使f(x)=2ax2+4(a-3)x+5在区间(-∞，3)上是减函数，则对称轴x=必在x=3的右边，即≥3，故0

　　答案

　　10.已知函数f(x)=(a是常数且a>0).对于下列命题：

　　函数f(x)的最小值是-1;

　　函数f(x)在R上是单调函数;

　　若f(x)>0在上恒成立，则a的取值范围是a>1;

　　对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有

　　f<.

　　其中正确命题的序号是____________.

　　解析　根据题意可画出草图，由图象可知，显然正确;函数f(x)在R上不是单调函数，故错误;若f(x)>0在上恒成立，则2a×-1>0，a>1，故正确;由图象可知在(-∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f成立，故正确.

　　答案　三、解答题

　　.求函数y=a1-x2(a>0且a≠1)的单调区间.

　　当a>1时，函数y=a1-x2在区间[0，+∞)上是减函数，在区间(-∞，0]上是增函数;

　　当0x1≥2，则f(x1)-f(x2)=x+-x-=[x1x2(x1+x2)-a]，

　　由x2>x1≥2，得x1x2(x1+x2)>16，x1-x2<0，

　　x1x2>0.

　　要使f(x)在区间[2，+∞)上是增函数，

　　只需f(x1)-f(x2)<0，

　　即x1x2(x1+x2)-a>0恒成立，则a≤16.

　　.已知函数f(x)=a·2x+b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.

　　(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性;

　　(2)若abf(x)时的x的取值范围.

　　解　(1)当a>0，b>0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所以函数f(x)单调递增;当a<0，b<0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，所以函数f(x)单调递减.

　　(2)f(x+1)-f(x)=a·2x+2b·3x>0.

　　(i)当a0时，x>-，

　　解得x>log;

　　(ii)当a>0，b<0时，x<-，

　　解得x0时，f(x)>1.

　　(1)求证：f(x)是R上的增函数;

　　(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)1.

　　f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)

　　=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0.

　　f(x2)>f(x1).即f(x)是R上的增函数.

　　(2)　f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，

　　f(2)=3，

　　原不等式可化为f(3m2-m-2)