Question

高中数学 数学归纳法

证明6能整除（6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数

Answer 1

证明：
n=1时，（6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除；
假设n=2k-1时，（6^n-3^n-2^n)-1=0能被6整除（k=1,2,...）
即存在整数p，使得6p=[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1
那么n=2(k+1)-1=2k+1时，
（6^n-3^n-2^n)-1=6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1
=36*6^(2k-1)-9*3^(2k-1)-4*2^(2k-1)-1
=4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}+12*6^(2k-1)-5*3^(2k-1)+3
前两项4*{[6^(2k-1)-3^(2k-1)-2^(2k-1)]-1}和12*6^(2k-1)显然能被6整除。
-5*3^(2k-1)+3能被3整除，
因为-5*3^(2k-1)和3都是奇数，所以-5*3^(2k-1)+3是偶数，能被6整除。
因此6^(2k+1)-3^(2k+1)-2^(2k+1)-1能被6整除。
由数学归纳法知，6能整除（6^n-3^n-2^n)-1,其中n为奇数。