Question

如图所示,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=4AD=4倍根号2

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝，∠B＝45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于

Answer 1

解：过A作AG⊥BC于G点。过D作DH⊥BC于H点。
由题可得，BC=4√2，AD=4√2/4=√2，∠AGH=45°，AB=DC，∠B=∠C=45°。
∵AG⊥BC，DH⊥BC。∴AG//DH，∠AGH=90°，又∵AD//BC。∴四边形AGHD为平行四边形
∵∠AGH=90°，四边形AGHD为平行四边形。∴平行四边形AGHD为矩形。
∴AG=DH，AD=GH=√2。
在RT△AGB和RT△DHC中，AB=DC，AG=DH。∴RT△AGB≌RT△DHC（HL）
∴BG=CH=（BC-GH）/2=3√2/2。
∵∠B=45°，∠AGB=90°。∴∠BAG=45°，∴∠BAG=∠B=45°。∴BG=AG=3√2/2。
在RT△AGB中，∠BGA=90°。∴AB²=AG²+BG²=9，∴AB=3。
△ABE为等腰三角形有三种情况，①BE=AE，②AB=AE，③AB=EB。
当BE=AE时，∠BAE=∠B=45°，∴∠BEA=90°，∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=45°。
且此时 在RT△AEB中，∠BEA=90°。∴AB²=AE²+BE²=9，∴2AE²=9，AE=BE=3√2/2。
∴CE=BC-BE=5√2/2
此时∠FEC=∠C=45°。∴EF=CF。在RT△EFC中，∠EFC=90°， ∴CE²=25/2=EF²+CF²=2CF² ， 解，得CF=5/2,。
当AB=AE=3时，∠B=∠AEB=45°，∴∠BAE=90°，∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=90°。∴∠EFC=180°-∠C-∠FEC=45°，∴此时∠FEC=∠C=45°，FE=CE。
在RT△BAE中，∠BAE=90°，∴BE²=AB²+AE²=18，∴BE=3√2，∴EC=BC-BE=√2。
在RT△FEC中，∠FEC=90°，∴FC²=FE²+CE²=2EC²=4，∴FC=2。
当AB=BE=3时，CE=BC-BE=（4√2）-3，∠BEA=∠BAE=（180°-∠B）/2=67.5°。
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=67.5°，∴∠EFC=180°-∠FEC-∠C=67.5°，∴∠EFC=∠FEC，
∴CE=CF=（4√2）-3，∴CF=5/2，CF=2，CF=（4√2）-3都符合条件。
嘿嘿，这题的提问者就他娘的是条瞎了眼的狗

追问

不可以骂人