Question

已知函数f（x）的定义域为（0，正无穷） 且满足下列条件 1、f（xy）=f（x）+f（y） 2、f（2）=1

已知函数f（x）的定义域为（0，正无穷） 且满足下列条件 1、f（xy）=f（x）+f（y） 2、f（2）=1 3、当x=1时 f（x）大于0
问（1）求f（1）的值 （2）判断函数f（x）的单调性 （3）若f（x）+f（2x）小于等于2，求x的取值范围
第一问会 求第二问和第三问

Answer 1

答：
f(x)定义域满足：x>0
f(xy)=f(x)+f(y)
f(2)=1
x>1时，f(x)=>0

1）
令x=y=1：f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)，f(1)=0

2）
设x>y>0，x/y>1
f(x)-f(y)
=f(y*x/y)-f(y)
=f(y)+f(x/y)-f(y)
=f(x/y)
>0
所以：f(x)>f(y)
所以：f(x)是单调递增函数

3）
f(x)+f(2x)=f(x*2x)<=2=f(2)+f(2)=f(4)
所以：
x>0
2x^2<=4，x^2<=2
解得：0<x<=√2