Question

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交

如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= k x 的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知OA= 10 ，tan∠AOC= 1 3 ，点B的坐标为（m，-2）．（1）求反比例函数及一次函数的解析式；（2）在y轴上存在一点P，使得△PDC与△ODC相似，请你求出P点的坐标．

Answer 1

：（1）过A作AE垂直x轴，垂足为E， ∵tan∠AOC= 1 3 ， ∴OE=3AE ∵OA= 10 ，OE 2 +AE 2 =10， ∴AE=1，OE=3 ∴点A的坐标为（3，1）． ∵A点在双曲线上， ∴ k 3 =1，∴k=3． ∴双曲线的解析式为y= 3 x ； （2）∵点B（m，-2）在双曲线y= 3 x 上， ∴-2= 3 m ， ∴m=- 3 2 ． ∴点B的坐标为（ 3 2 ，-2）． ∴ 3a+b=1 3 2 a+b=-2 ，∴ a= 2 3 b=-1 ∴一次函数的解析式为y= 2 3 x-1． （3）过点C作CP⊥AB，交y轴于点P， ∵C，D两点在直线y= 2 3 x-1上， ∴C，D的坐标分别是：C（ 3 2 ，0），D（0，-1）． 即：OC= 3 2 ，OD=1， ∴DC= 13 2 ． ∵△PDC ∽ △CDO， ∴ PD DC = DC OD ， ∴PD= DC 2 OD = 13 4 ， 又∵OP=DP-OD= 13 4 -1= 9 4 ， ∴P点坐标为（0， 9 4 ）．