已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R(1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线的方程;(2)若函数f(

已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R(1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线的方程;(2)若函数f(x)-ax+m=0在[1e,e}上有两个不等的... 已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R(1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线的方程;(2)若函数f(x)-ax+m=0在[1e,e}上有两个不等的实数根,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)的图象与x轴交于不同的点A(x1,0),B(x2,0)且0<x1<x2,求证:f′(px1+qx2)<0(其中实数p,q满足0<p≤q,p+q=1) 展开
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芯浮云118
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(1)当a=2时,f(x)=2lnx-x2+2x,
f(x)=
2
x
?2x+2

切点坐标为(1,1),
切线的斜率k=f′(1)=2,
∴切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
(2)方程f(x)-ax+m=0即为2lnx-x2+m=0,
令g(x)=2lnx-x2+m,
则g′(x)=
2
x
?2x
=
?2(x+1)(x?1)
x

∵x∈[
1
e
,e
],∴g′(x)=0时,x=1.
1
e
<x<1
时,g′(x)>0;
当1<x<e时,g′(x)<0,
故函数g(x)在x=1取得极大值g(1)=m-1,
又g(
1
e
)=m-2-
1
e2
,g(e)=m+2-e2
g(e)-g(
1
e
)=4-e2+
1
e2
<0,
则g(e)<g(
1
e
),
故函数g(x)在[
1
e
,e
]上的最小值是g(e).
方程f(x)-ax+m=0在[
1
e
,e]上有两个不相等的实数根,
则有
g(1)=m?1>0
g(
1
e
)=m?2?
1
e2

解得1<m≤2+
1
e2

故实数m的取值范围是(1,2+
1
e2
].
(3)∵函数f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0),B(x2,0),
2lnx-x2+ax=0的两个根为x1,x2
2lnx1?x12+ax1=0
2lnx2?x22+ax2=0

两式相减,得a=(x1+x2)-
2(lnx1?lnx2)
x1?x2

f(x)=2lnx-x2+ax,
f(x)=
2
x
?2x+a

f(px1+qx2)=
2
px1+qx2
-2(px1+qx2)+(x1+x2)-
2(lnx1?lnx2)
x1?x2

=
2
px1+qx2
-2(px1+qx2)+(x1+x2)-
2(lnx1?lnx2)
x1?x2

=
2
px1+qx2
?
2(lnx1?lnx2)
x1?x2
?(2p?1)x1
-(2q-1)x2 ,(∵p+q=1)
=
2
px1+qx2
?
2(lnx1?lnx2)
x1?x2
+(2p-1)(x2-x1),(*)
∵0<p≤q,p+q=1,则2p≤1,
∵0<x1<x2,∴(2p-1)(x2-x1)≤0.
下面证明
2
px1+qx2
?
2(lnx1?lnx2)
x1?x2
<0

即证明
x2?x1
px1+qx2
+ln
x1
x2
<0

令t=
x1
x2
,∵0<x1<x 2 ,∴0<t<1,
即证明u(t)=
1?t
pt?q
+lnt<0在0<t<1上恒成立.
∵u′(t)=
1
t
?
1
(pt+q)2
=
p2t2?t(p2+q2)+q2
t(pt+q)2

=
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