Question

如图，⊙O的弦AD ∥ BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥ DE交BD于点H，DO及 延长线分别交AC、BC于

如图，⊙O的弦AD ∥ BC，过点D的切线交BC的延长线于点E，AC ∥ DE交BD于点H，DO及 延长线分别交AC、BC于点G、F．（1）求证：DF垂直平分AC；（2）求证：FC=CE；（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且DF过圆心O， ∴DF是⊙O的直径所在的直线， ∴DF⊥DE， 又∵AC ∥ DE， ∴DF⊥AC， ∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分） （2）证明：由（1）知：AG=GC， 又∵AD ∥ BC， ∴∠DAG=∠FCG； 又∵∠AGD=∠CGF， ∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分） ∴AD=FC； ∵AD ∥ BC且AC ∥ DE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD=CE， ∴FC=CE；（5分） （3）连接AO， ∵AG=GC，AC=8cm， ∴AG=4cm； 在Rt△AGD中，由勾股定理得GD 2 =AD 2 -AG 2 =5 2 -4 2 =9， ∴GD=3；（6分） 设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3， 在Rt△AOG中，由勾股定理得AO 2 =OG 2 +AG 2 ， 有：r 2 =（r-3） 2 +4 2 ， 解得r= 25 6 ，（8分） ∴⊙O的半径为 25 6 cm．