Question

关于函数f(x)＝4sin(2x+π3)，(x∈R)有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②f（x

关于函数f(x)＝4sin(2x+π3)，(x∈R)有下列命题：①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；②f（x）的表达式可改写为f(x)＝4cos(2x?π6)；③f（x）的图象关于点(?π6，0)对称；④f（x）的图象关于直线x＝π3对称；⑤f（x）在区间(?π3，π12)上是增函数；其中正确的是______．（请将所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

∵f(x)＝4sin(2x+

π

3

)，(x∈R)的周期为π，
当x₁=-

π

6

，x₂=

π

3

时，f（x₁）=f（x₂）=0，x₁-x₂ =

π

2

≠kπ，k∈z，故①是错误的．
∵由诱导公式可得f(x)＝4sin(2x+

π

3

)=4cos（

π

2

-2x-

π

3

 ）=4cos（

π

6

-2x）=4cos（2x-

π

6

），故 ②正确．
∵当 x=-

π

6

 时，f（x）=0，故点(?

π

6

，0)是f（x）与x轴的交点，故是对称点，故③正确．
∵当 x＝

π

3

时，f(x)＝4sin(2x+

π

3

)=0，不是f（x）的最值，故④是错误的．
由   2kπ-

π

2

≤(2x+

π

3

)≤2kπ+

π

2

 得，kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，故⑤正确．
综上，②③⑤正确，①④不正确，
答案为 ②③⑤．