Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出点Q点的坐标．

Answer 1

（1）∵△ABE与△ABC的面积之比为3：2，E（2，6），
∴C（0，4），D（0，2），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
由题意得

b=2 2k+b=6

，
解得

b=2 k=2

，
直线AD的解析式为y=2x+2，
∴A（-1，0）．
抛物线经过A、C、E三点，得

c=4 a-b+c=0 4a+2b+c=6

，
解得

a=-1 b=3 c=4

．
所求抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4．

（2）∵当Q在第三象限时△ABQ为钝角三角形，不与△ADF相似，
∴答案为两个．
当△ABQ与△CED相似时，
由（1）有B（4，0），F（

3

2

，0）
①若△ABQ∽△AFD，

AD

AQ

=

AF

AB

，即

5

AQ

=

5 2

5

，AQ=2

5

，Q（1，4）或（-3，-4）（舍去）
②若△ABQ∽△ADF，

AD

AB

=

AF

AQ

，即

5

5

=

5 2

AQ

，AQ=

5 5

2

，Q（

3

2

，5）或（-

7

2

，-5）（舍去）．
综上所述，Q点的坐标为Q（1，4）或（

3

2

，5）．