Question

函数问题：已知函数f(x)=1/3x^3-(a+1)x^2+4ax(a∈R)

已知函数f(x)=1/3x^3-(a+1)x^2+4ax(a∈R)
(1)若函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增，在区间（0，1）上单调递减，求实数a的值
(2)若a>1,且函数f(x)在区间[0，4]上的最大值为16/3，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)f(x)=1/3x^3-(a+1)x^2+4ax
f‘(x)=x^2-2(a+1)x+4a
∵y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递增，在区间（0，1）上单调递减
∴f'(0)=0 a=0
(2) ∵ f‘(x)=x^2-2(a+1)x+4a
∴ 驻点 x1=2 x2=2a
令：1/3x^3-(a+1)x^2+4ax=16/3
解得：x=4 x=3/2*a-1/2±1/2√(9*a^2-6*a-15)
∴a=2 (题目恐有错，是否为最小值？）

Answer 2

f(x)=1/3x³-(a+1)x²+4ax
f'(x)=x²-2(a+1)x+4a=(x-a-1)²-(a-1)²≥-(a-1)²
f'(x)=0,x=[(a+1)±√(a-1)²]
a≥1时 x=2,或x=2a ①
a<1时 x=2a，x=2 ②
f''(x)=2x-2(a+1)
①f''(2)=2-2a<0,是极大值
f''(2a)=2a-2>0,是极小值
∴x<2,f(x)单调递增，2<x<2a,f(x)单调递减，x>2a,f(x)单调递增，与题意不符；
②f''(2)=2-2a>0,是极小值
f''(2a)=2a-2<0,是极大值
∴x<2a,f(x)单调递减，2a<x<2,f(x)单调递增，x>2,f(x)单调递减，与题意不符；
∴无解（是否题目抄错了）
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a>1，由上面解析 f(2)是极大值，f(2)=8/3-4(a+1)+8a=4a-4/3
∵f(4)=64/3-16(a+1)+16a=16/3
∴f(2)=4a-4/3 ≤16/3→a≤5/3
∴a的取值范围是：1<a≤5/3