Question

椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点A（2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）

椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的长轴长是短轴长的两倍，且过点A（2，1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：x-1-y=0与椭圆C交于不同的两点M，N，求|MN|的值．

Answer 1

（1）由条件a=2b，所以C：

x2

4b2

+

y2

b2

＝1，代入点（2，1）可得b＝

2

，
椭圆C的标准方程为

x2

8

+

y2

2

＝1；
（2）联立

x?1?y＝0 x2 8 + y2 2 ＝1

，得5x²-8x-4=0，
所以x1+x2＝

8

5

，x1x2＝?

4

5

由相交弦长公式可得|MN|=

1+12

|x1?x2|．
=

2

(x1+x2)2?4x1x2

＝

2

( 8 5 )2?4×(? 4 5 )

＝

12 2

5

．