Question

函数f(x)=|x|(|x-1|-|x+1|)是

A。是奇函数又是减函数
B。是奇函数但不是减函数
C。是减函数但不是奇函数
D。不是奇函数也不是减函数
答案是A，希望能有具体的过程

Answer 1

1.是奇函数：定义域为R关于原点对称
f(-x)=|x|(|-x-1|-|-x+1|)=|x|(|x+1|-|x-1|)=-f(x)

2.当x>1时， f(x)=x(x-1-x-1)=-2x,显然递减，
当0<=x<=1时， f(x)=x(-x+1-x-1)=-2x^2,在[0,1]上递减
当-1<=x<0时， f(x)=-x(-x+1-x-1)=2x^2,在[-1,0]上递减
当x<-1时， f(x)=-x(-x+1+x+1)=-2x,递减

又因为f(x)是连续函数，f(x)在R上递减，选A

Answer 2

f(-x) = |-x|(|-x-1|-|-x+1|)

= |x|(|x+1|-|x-1|)

= -f(x), 所以 f(x) 是奇函数.

x>=1, |x-1| - |x+1| = -2 < 0, |x| = x, 所以 f(x) = -2x 单减

0<=x<=1, |x-1| - |x+1| = 1-x - x - 1 = -2x, |x| = x,

f(x) = -2x^2, 在 [0,1] 上单减

所以 f(x) 在 [0,+infinity) 上单减

又因为 f(x) 是奇函数

所以 f(x) 在 R 上单减

Answer 3

f（-x）=|-x|（|-（x+1）|-|-(x-1)|=-|x|(|x+1|-|x-1|)=-f(x)所以是奇函数任取x1<x2
f(x1)-f(x2)>0
所以f(x1)>f(x2),x1<x2
是减函数

Answer 4

注：对这类问题画图是最好的方法