Question

高中 三角函数问题

在 中三角形ABC，三个内角A,B,C 及其a,b,c对边a,b,c 满足( sin(A-B))/(sin(A+B))=1）求角A的大小； （2）若a=6，求△ABC的面积的最大值.
( sin(A-B))/(sin(A+B))=（b+c)/c

Answer 1

解：
(1)∵[sin(A-B)]/[sin(A+B)]=（b+c)/c=b/c+1=sinB/sinC+1
∴sin(A-B)=sinB*[sin(A+B)]/sinC+sin(A+B)=sinB*sinC/sinC+sin(A+B)=sinB+sin(A+B)
∴sinB=sin(A-B)-sin(A+B)=(sinAcosB-cosAsinB)-(sinAcosB+cosAsinB)=-2cosAsinB.
∵在△ABC中，B≠0且B≠π
∴sinB≠0.
∴1=-2cosA，解得：A=2π/3.
(2)由(1)及题意知：
cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=[(b+c)^2-2bc-36]/(2bc)=-1/2
整理并化简得：
bc+36=(b+c)^2≥[2*√(bc)]^2=4bc，则bc≤12.
当且仅当b=c=2*√3时，等号成立.
∴S=bc/2的最大值就是6.

Answer 2

第一问，只需变形，给分子分母同时乘哪一个都好。第二个不用看就是一看面积公式2absina就知道是啥形了。

Answer 3

sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB

化简得cosAsinB=0,而sinB不为0（B不为0°）∴A为90°，即cosA为0

Answer 4

第一题，化简得到A=90度
所以是直角三角形
S=1/2*bc
根据不等式
b+c≥2根号bc
b^2+c^2≥2bc
a^2≥2bc
36≥2bc
9≥1/2bc

Smax=9