Question

若abc为两两不等的有理数 求证√（1/（a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2)为

若abc为两两不等的有理数
求证√（1/（a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2)为有理数

Answer 1

逆用三元平方和公式
x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)^2
我们注意到
1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
=1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
+[2(a-b)+2(b-c)+2(c-a)]/(a-b)(b-c)(c-a).（这里为了配方,其实就是0）
=1/(a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2
+2*[1/(a-b)]*[1/(b-c)]
+2*[1/(b-c)]*[1/(c-a)]
+2*[1/(c-a)]*[1/(a-b)]
=[1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)]^2
所以√（1/（a-b)^2+1/(b-c)^2+1/(c-a)^2)=1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
而1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)为有理数,所以得证

追问

可以详细解释一下吗