Question

一道全等三角形的题 详细过程

如图，D为三角形ABC外一点，过点D作DE垂直AB交AB延长线于E，过D作DF垂直AC交AC延长线于F，且DE=DF；
1:求证：AE=AF；
2，若角CAB=60度，角BDC=60度，试猜想BC、BE、CF之间的数量关系并写出证明过程

Answer 1

解：连接AD
因为在直角三角形AED和直角三角形AFD中
DE=DF
AD=AD
所以直角三角形AED和直角三角形AFD全等（HL）
所以AE=AF

猜想BC=BE+CF
证明：
因为DE=DF，
所以D在角BAC的角平分线上（到角两边的距离相等）
且角EAD=角FAD=30度
所以角EDA=角FDA=60度
所以三角形BED全等于三角形CFD（ASA）
所以DB=CD
所以三角形BCD为等边三角形
因为三角形AED全等于三角形AFD

三角形BED全等于三角形CFD
所以两三角形相减得
三角形ABD全等于三角形ACD
所以AB=AC
连接AD交BC于点G
G在角平分线上，由三线合一得AD垂直BC
因为三角形BCD为等边三角形
三线合一得
AD是角BDC的角平分线
所以角BDA=30度=角EDB
所以三角形EDB全等于三角形GDB（AAS）
所以BE=BG
同理CG=CF
BC=BG+CG=BE+CF
命题得证

Answer 2

1、∵DE⊥AB，DF⊥AC
那么RT△ADE和RT△ADF中：
AD=AD，DE=DF
∴RT△ADE≌RT△ADF(HL)
∴AE=AF
2、BC=BE+CF
∵∠AED=∠AFD=90°，∠CAB=60°
∴∠EDF+∠CAB=180°，那么∠EDF=120°
∵∠BDC=60°
∴∠DBE+∠CDF=∠EDF-∠BDC=120°-60°=60°
在AB上截取EM=CF，连接DM
∵DE=DF，EM=CF，∠DEM=∠DFC=90°
∴△CDF≌△MDE(SAS)
∴∠CDF=∠MDE，CD=MD
∵∠DBE+∠CDF=60°
那么∠DBE+∠MDE=∠BDM=60°
∴∠BDM=∠BDC
∵∠BDM=∠BDC，BD=BD，CD=MD
∴△BDC≌△BDM(SAS)
∴BC=BM=BE+EM=BE+CF
即BC=BE+CF