Question

若函数f（x）ax三次方-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值-4/3

求函数的解析式
若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数K的取值范围

Answer 1

f（x）=ax^3-bx+4
f'(x)=3ax^2-b
当x=2时有极值，则f'(2)=12a-b=0有解，得b=12a
所以
f（x）=ax^3-12ax+4
f(2)=a*8-12a*2+4=-4/3,得a=1/3
则b=4
所以函数解析式为f（x）=1/3 x^3-4x+4

2)\若关于x的方程f（x）=k有三个零点
g(x)=f(x)-k=1/3 x^3-4x+4-k
因为g'(x）=x^2-4
令g'(x)=0时得x=2或x=-2，有两个驻点
可x=2时极小值点，x=-2是极大值点
要满足有三个零点，则在两个驻点处的纵坐标一正一负即可
所以g（2）=-4/3-k<0，即k>-4/3
且g（-2）=1/3*（-8）-4*（-2）+4-k=28/3-k>0,即k<28/3
综合得实数K的取值范围是（-4/3,28/3)