Question

已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f（x）+f（y）=f（x+y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2/3

.求f（x）在[-3,3]上的最小值？ （写出完整过程）

Answer 1

（1）证明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）∴令x=y=0 有f （0 ）=0令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）（2）证明：设x 2 ＞x 1 则x 2 -x 1 ＞0∵当x＞0时，f（x）＜0∴f（x 2 -x 1 ）＜0∴f（x 2 ）=f[（x 2 -x 1 ）+x 1 ]=f（x 2 -x 1 ）+f（x 1 ）＜f（x 1 ）∴函数f（x）是R上的减函数（3）由（2）可得f（x）在[-3，3]上单调递减，且f（1）=- 2 3 当x=3时函数有最小值，f（3）=f（1）+f（2）=3f（1）=-2当x=-3时函数有最大值，f（-3）=-f（3）=2从而可得函数的最值为2，最小值为-2．