Question

求解高中数列题3

设数列{An}的通项公式为An=Pn+Q(n是正整数，P>0).数列{Bn}定义如下：对于正整数m,Bm是使得不等式An大于等于m成立的所有n中的最小值。
(1)若P=2,Q=-1,求数列{Bm}的前2m项和公式；
（2）是否存在P和Q，使得Bm=3m+2(m是正整数）？如果存在，求P和Q的取值范围；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)、由P =2，Q=-1得An=2n-1，对任意正整数m，An>=m即是2n-1>=m，解得n>=(m＋1)/2，所以B_2k-1=k，B_2k=k＋1。记Sm为Bm的前m项和，则S_2m=(B_1＋B_3＋…＋B_2m-1)＋(B2＋B4＋…＋B2m)=(1＋2＋…＋m)＋(2＋3＋…＋m＋1)=2＊(1＋2＋…＋m)＋m=m(m＋1)＋m=m(m＋2)； (2)、假设存在这样的P、Q，满足条件。那么对于Pn＋Q>=m，(P>0)，n>=(m-Q)/P，由题设及假设可得，[(m-Q)/P] 1=3m＋2，即有3m<=(m-Q)/P<3m＋1, 考虑到m能取到所有正整数,则必有P=1/3,于是0<=-Q/P=-3Q<1，即-1/3<Q<=0。即是存在满足条件的P、Q，P=1/3，-1/3<Q<=0时，对一切正整数m,有Bm=3m＋2。