Question

已知定义在[-1,1]上的函数f〈x〉的图像关于原点对称,且函数f〈x〉在[-1,1]

已知定义在[-1,1]上的函数f〈x〉的图像关于原点对称,且函数f〈x〉在[-1,1]上为减函数
证明 当x1＋x2≠0时fx1＋fx2／x1＋x2＜0

Answer 1

函数f(x)的图像关于原点对称,则f(x)是奇函数,f(0)=0
f(x)是减函数，-1≤x<0时，f(x)>f(0)=0,0<x≤1时，f(x)<f(0)=0
x₁·x₂>0 (x₁、x₂同号)时，f(x₁)、f(x₂)与x₁、x₂异号
[f(x₁)+f(x₂)]/(x₁+x₂)<0 恒成立
x₁·x₂<0 (x₁、x₂异号)时
假设x₂>0 x₁<0
x₁+x₂>0时 x₂>-x₁>0
f(x₁)+f(x₂)=f(x₂)-f(-x₁)<0
[f(x₁)+f(x₂)]/(x₁+x₂)<0
x₁+x₂<0时 0<x₂<-x₁
f(x₁)+f(x₂)=f(x₂)-f(-x₁)>0
[f(x₁)+f(x₂)]/(x₁+x₂)<0
综上：x₁＋x₂≠0时 [f(x₁)＋f(x₂)]/(x₁+x₂)<0 恒成立