Question

高一数学难题

在三角形ABC中若a(bcosB-ccosC)=(b的平方-c的平方)cosA,求三角形的形状.

Answer 1

(a^2是的a平方)
将cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac),cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)代入得到:
a[b*(a^2+c^2-b^2)/(2ac)-c*(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]=(b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)/(2bc)
去分母整理得到:
2a^2b^2-2a^2c^2=2(b^4-c^4)
即2a^2(b^2-c^2)=2(b^2-c^2)(b^2+c^2)
所以(b+c)(b-c)(b^2+c^2-a^2)=0
所以b=c或b^2+c^2=a^2
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形

Answer 2

把a，b，c分别换成sinA,sinB,sinC
sinA(sinBcosB-sinCcosC)=(sin^2B-sin^2C)cosA
sinA(sin2B-sin2C)=(cos2C-cos2B)cosA
sinAsin2B-sinAsin2C=cosAcos2C-cosAcos2B
sinAsin2B+cosAcos2B=cosAcos2C+sinAsin2C
cos(A-2B)=cos(A-2C)
A-2B=A-2C或A-2B=-(A-2C)
B=C或A=B+C
所以:等腰三角形或直角三角形.

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