Question

已知f（x）=a（x-lnx）+（2x-1）/x² 求f（x）单调区间

Answer 1

f（x）=a（x-lnx）+（2x-1）/x²,x>0,
f'(x)=a(1-1/x)+[2x²-（2x-1）2x]/x^4
=a(x-1)/x+[2x-（4x-2）]/x³
=a(x-1)/x+（2-2x）/x³
=a(x-1)/x-2（x-1）/x³
=[(x-1)/x³](ax²-2）
=a(x-1)(x²-2/a）/x³
（1）a=0，f(x)=（2x-1）/x²=2(x-1/2)/x²
f'(x)=-2（x-1）/x³,
0<x<1,增函数；1＜x<+∞，减函数。x=1，有极大值f(1)=1。
(2)a<0，f'(x)=a(x-1)(x²-2/a）/x³
0<x<1,增函数；1＜x<+∞，减函数。x=1，有极大值f(1)=a+1
（3）a>0,
f'(x)=a(x-1)[x-√（2/a）][x+√（2/a）]/x³
《1》1≤√（2/a），1≤2/a，a≤2，
(0,1)U(√（2/a）,+∞),增函数；1≤x≤√（2/a），减函数；
《2》a>2
(0<x√（2/a）)U(x>1),增函数；√（2/a）≤x≤1，减函数；