Question

一道数学证明题 关于不等式的

已知 a b＞0，且a+b=1，求证
1.1/（a平方）+1/（b平方）≥8
2.（a+1/a）平方+（b+1/b）平方≥25/2
3.（a+1/a）*（b+1/b）≥25/4

谢谢谢谢！

Answer 1

均值不等式先得出下面的结论
1=a+b≥2√ab ab≤1/4

a^2+b^2≥(a+b)^2/2=1/2

1.

1/a^2+1/b^2
=(a^2+b^2)/(ab)^2
≥(1/2)/(1/4)^2
=8

2.
(a+1/a)^2+(b+1/b)^2
=(a^2+b^2)+4+(1/a^2+1/b^2)
≥1/2+4+8
=25/2

3.
(a+1/a)*(b+1/b)
=ab+1/(ab)+a/b+b/a
≥ab+1/(ab)+2
≥1/4+4+2 (这一步是由耐克函数的增减性得到的)
=25/4

Answer 2

1 原式=（a=b)^2/a^2+(a+b)^2/b^2=2+2(b/a+a/b)+(b^2/a^2+a^2/b^2)>=2+4+2=8
等号当且仅当 a=b=1/2

2 (a+1/a)^2+(b+1/b)^2=a^2+b^2+4+1/a^2+1/b^2>=1/2(a^2+b^2)+ab+4+8=1/2(a+b)^2+12=25/2,等号当且仅当a=b=1/2时成立

3 原式=（a^2+1)(b^2+1)/ab=(a^2b^2+a^2+b^2+1)/ab=[a^2b^2+1/16+a^2+b^2+15(a+b)^2/16]/ab>=(2*ab/4+2ab+15ab/4)/ab=1/2+2+15/4=25/4
等号当且仅当a=b=1/2时成立