Question

积分参数方程求体积。

Answer 1

问得好。图中你标出的πa和2πa应该改为π和2π。
因为是用手机编辑的，没法作出草图，如果有解释不到位的地方，还望见谅。
且π左边的半段曲线为L1，右边的半段曲线为L2。前者与x轴，y轴，y=2a所围成的图形旋转得到的体积为V1。后者与x轴，y轴，y=2a所围成图形旋转得到的体积为V2。那么所求的体积就是V2-V1。
下面以V1的求解过程为例，说明利用参数方程求旋转体体积的方法。
在左半段曲线L1上任意一点(x,y)处，取“一小段”曲线微元，它可以近似为直线段，与旋转轴的距离为x，绕着y轴旋转得到的“微圆台”的高度为dy=a*sintdt。把这个圆台近似看做圆柱体(只有在求体积的时候可以这样处理，求侧面积的时候绝对不可以)，那么这个微圆柱的体积为
dV1=πx^2dy(把参数方程代进来，手机输入有困难，这里就不示范了)。
然后把这些微元的体积全部加起来，在数学上就是求定积分。因为上面把微分中的变量换成了t，所以在处理积分上下限的时候要注意。保证dy是正的，这样求出来的积分才表示体积。
V2的计算过程与此相同。