Question

高一数学题，高手进来~~

1.y=cos^4x-2sinxcosx-sin^4,x∈【0，π/2】的最大值是
A.1 B.根号2 C.根号3 D.2
2.在区间【0,2】上随机取一个数x，使得tanx的值介于1到根号3之间的概率为
___________
3.已知F(X)=sin（x+θ）+根号3cos（x-θ）为偶函数，则tanθ=_________
答案：1.A
2.π/24
3.-根号3/3

Answer 1

1.y=cos^4x-sin^4-2sinxcosx
=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx
……使用平方差公式
y=1*(cos^2x-sin^2x)-2sinxcosx ……cos^2x+sin^2x=1
y=cos2x-sin2x ……二倍角公式
所以y=1.141cos(2x+π/4) ……三角函数提斜边
所以在限定的范围内，2x+π/4在[π/4，7π/4]，所以y的最大值是1，选A

2.对于y=tanx,当x属于[0，π/2]时，y恒增，y属于0到正无穷，当x属于[π/2,2]时，y仍然恒增，但是范围在负区间，所以此题中不考虑这一区间。
tan(π/4)=1,tan(π/3)=根号三，所以这一区间长度为π/12，此题所求的事件概率属于几何概型，p=π/24即为所求

3.c此题F(x)=F(-x)即sin（x+θ）+根号3cos（x-θ）=sin（-x+θ）+根号3cos（-x-θ）=-sin（x-θ）+根号3cos（x+θ）
整理得sinxcosθ+cosxsinθ+sinxcosθ-cosxsinθ=根号三（cosxcosθ-sinxsinθ-cosxcosθ-sinxcosθ）
即2sinxcosθ=负二倍根号三*sinxsinθ
即cosθ=负根号三*sinθ
所以tanθ=sinθ/cosθ=负的三分之根号三

Answer 2

1 y=cos^4x-2sinxcosx-sin^4
=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)-sin2x
=cos2x-sin2x x∈【0，π/2】2x∈【0，π】
当2x=π时取最大值 1 所以选A

2 tanx在1到根号3 所以x∈【π/4，π/3】
概率为 （π/3-π/4）/2=π/24

3.F(X)=sin（x+θ）+根号3cos（x-θ）
F(-X)=sin（-x+θ）+根号3cos（-x-θ）
=-sin（x-θ）+根号3cos（x+θ）=F(X)=sin（x+θ）+根号3cos（x-θ）

Answer 3

1 y=cos^4x-2sinxcosx-sin^4
=(cos^2x+sin^2x)(cos^2x-sin^2x)-sin2x
=cos2x-sin2x
=根号2cos(2x+π/4)
∵x∈[0，π/2]∴2x+π/4∈[π/4，5π/4]cosx为减函数
∴当x=0时取最大值 1 所以选A

2 tanx∈[1,3]所以x∈[π/4，π/3]
概率为 （π/3-π/4）/2=π/24

3.F(X)=sin（x+θ）+根号3cos（x-θ）=F(-X)=sin（-x+θ)+根号3cos（-x-θ）
不妨设x=θ，上式可化简为：
sin2θ=根号3cos2θ=根号3（cos^2θ-sin^2θ）两边同除以cos^2θ，得：
根号3tan^2cos^2θ+2tancos^2θ-根号3=0，解得：
tanθ=0,或tanθ=-根号3；当θ=0时，F（X）不是偶函数！故舍去tanθ=0；
即tanθ=-根号3！【注意特值法的应用！】

Answer 4

1、选A.解析：y=(cos^4x-sin^4x)-2sinxcosx=(cos^2x-sin^2x)(cos^2x+sin^2x)-2sinxcosx=(cosx-sinx)^2利用“积化和差公式”可得y=(√2 sin(π/4-x))^2 然后因为x∈【0，π/2】，所以”sin(π/4-x))在∈【-π/4，π/4】“取值；结果为1。
2、 13.1%。由于【0，2】之间的长度为2；tanx的值介于1到根号3之间数的长度为π/3-π/4=π/12;所以其概率为π/24约为13.1%。
3、利用偶函数性质F（X）=F(-X)；两边展开合并化简为:sinx(cosθ+√3sinθ)=0;则sinx=0或者(cosθ+√3sinθ)=0;