已知a>b>c,求证:ab^2+bc^2+ca^2<a^2b+b^2c+c^2a
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作差即可,
用分析法的话, 即证:a^2b-bc^2+b^2c-ab^2-a^2c+ac^2>0
等价于:a^2(b-c)+c^2(a-b)+b^2(c-a)>0
因为 a>b>c 所以 b-c>0 a-b>0 所以 即证明
a^2(b-c)+c^2(a-b)>b^2(a-c)
因为 b^2(a-c)>(a-b)b^2>c^2(a-b)
所以 b^2(a-c)-c^2(a-b)=(b-c)(ab+ac-bc)
因为 (ab+ac-bc)=ab+c(a-b)
且 c(a-b)<a(a-b)
即 ab+c(a-b)<a^2
所以 b^2(a-c)-c^2(a-b)<a^2(b-c)
ab^2+bc^2+ca^2<a^2b+b^2c+c^2a
用分析法的话, 即证:a^2b-bc^2+b^2c-ab^2-a^2c+ac^2>0
等价于:a^2(b-c)+c^2(a-b)+b^2(c-a)>0
因为 a>b>c 所以 b-c>0 a-b>0 所以 即证明
a^2(b-c)+c^2(a-b)>b^2(a-c)
因为 b^2(a-c)>(a-b)b^2>c^2(a-b)
所以 b^2(a-c)-c^2(a-b)=(b-c)(ab+ac-bc)
因为 (ab+ac-bc)=ab+c(a-b)
且 c(a-b)<a(a-b)
即 ab+c(a-b)<a^2
所以 b^2(a-c)-c^2(a-b)<a^2(b-c)
ab^2+bc^2+ca^2<a^2b+b^2c+c^2a
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